3. Determine a solução da equação

y ' ' + x - 2 x 2 - x y ' = 0

Que satisfaz as condições iniciais y 2 = 0 e y ' 2 = 1

Passo 1

Ora, pela teoria, sabemos que podemos encontrar a solução de EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica y zerado dessa forma aqui:

u = y '

Então como u ' = y ' ' , podemos substituir na nossa equação:

y ' ' + x - 2 x 2 - x y ' = 0   →

u ' + x - 2 x 2 - x u   = 0

EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:

u = A e - ∫ x - 2 x 2 - x d x

Passo 2

Vamos integrar então!

∫ x - 2 x 2 - x d x

Colocando x em evidência no denominador...

∫ x - 2 x x - 1 d x =

Veja que se a gente adicionar x e tirar x ao mesmo tempo...

∫ 2 x - 2 - x x x - 1 d x =

Poderemos separar em duas frações:

∫ 2 x - 1 x x - 1 - x x x - 1 d x =

∫ 2 x - 1 x - 1 d x =

Integrando...

2 ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 + C =

ln ⁡ x 2 x - 1 + C

Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de u :

u = A e - ln ⁡ x 2 x - 1   →

u = A e ln ⁡ x 2 x - 1 - 1   →

u = A x 2 x - 1 - 1   →

u = A x - 1 x 2

Ótimo! Porque como y ' é u , vamos precisar integrar:

y ' = u   →

y = ∫ A x - 1 x 2   d x →

y = A ∫ 1 x - 1 x 2   d x →

Integrando então...

y = A ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + B

y = A ln ⁡ 1 x + B

Como x é positivo (ele varia de 0 a 1 ) então...

y = A ln ⁡ 1 x + B

Passo 3

Podemos agora encontrar esses A e B pelos valores iniciais dados no problema: y 2 = 0 e y ' 2 = 1 .

Pela primeira condição:

y x = A ln ⁡ 1 x + B →

y 2 = A ln ⁡ 1 2 + B     →

A ln ⁡ 1 2 + B = 0     →

B = - A ln ⁡ 1 2

Para a segunda condição, perceba que vamos precisar da derivada da nossa solução, ou seja:

y ' x = u x =

A x - 1 x 2

Então...

y ' 2 = A 2 - 1 2 2   →

y ' 2 = 1 4 A   →           A = y ' 2 ⋅ 4 = 4

E pela primeira equação...

B = - 4 ln ⁡ 1 2

Então, a solução final do nosso problema é:

y x = 4 ln ⁡ 1 x - 4 ln ⁡ 1 2

Resposta

y x = 4 ln ⁡ 1 x - 4 ln ⁡ 1 2

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