3. Determine a solução da equação
Que satisfaz as condições iniciais e
Passo 1
Ora, pela teoria, sabemos que podemos encontrar a solução de EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica zerado dessa forma aqui:
Então como , podemos substituir na nossa equação:
EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:
Passo 2
Vamos integrar então!
Colocando em evidência no denominador...
Veja que se a gente adicionar e tirar ao mesmo tempo...
Poderemos separar em duas frações:
Integrando...
Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de :
Ótimo! Porque como é , vamos precisar integrar:
Integrando então...
Como é positivo (ele varia de a ) então...
Passo 3
Podemos agora encontrar esses e pelos valores iniciais dados no problema: e .
Pela primeira condição:
Para a segunda condição, perceba que vamos precisar da derivada da nossa solução, ou seja:
Então...
E pela primeira equação...
Então, a solução final do nosso problema é: