Considere a função f dada por:

f x = ∑ n = 1 + ∞ x n - 1 n 3

c) Justifique a igualdade:

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∑ k = 0 + ∞ 2 2 k + 1 4

Passo 1

Primeiro devemos escrever a integral:

∫ - 1 1 x n - 1 n 3 d x

Integrando:

∫ - 1 1 x n - 1 n 3 d x = x n n 4 1 - 1

Aplicando os limites:

∫ - 1 1 x n - 1 n 3 d x = 1 n n 4 - - 1 n n 4 = 1 - - 1 n n 4

Passo 2

Abrindo a série:

∑ n = 1 + ∞ 1 - - 1 n n 4 = 2 + 0 + 2 3 4 + 0 + 2 5 4 + 0 + 2 7 4 + …

∑ n = 1 + ∞ 1 - - 1 n n 4 = ∑ k = 0 + ∞ 2 2 k + 1 4

Desse modo:

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∑ k = 0 + ∞ 2 2 k + 1 4

Resposta

∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∑ n = 1 + ∞ 1 - - 1 n n 4 = ∑ k = 0 + ∞ 2 2 k + 1 4

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