Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dada.

x ¨ + 2 x ˙ + x = 0 ,             x 0 = 1           e           x ˙ 0 = 0

Passo 1

O exercício pede para reolver a EDO homogênea de segunda ordem

x ' ' + 2 x ' + x = 0

Como os coeficientes são constantes, caímos na equação característica

p 2 + 2 p + 1 = 0

As soluções dessa equação são

p = - 2 ± 4 - 4 2 = - 2   2 = - 1

Quando as raízes são duplas, temos que

x t = A e p t + B t e p t = A + B t   e p t

Portanto, com p = - 1 :

x t = A + B t   e - t

Passo 2

Como x 0 = 1 , temos que

1 = A + B ⋅ 0 ⇒ A = 1

Portanto,

x t = 1 + B t   e - t

Logo,

x ˙ t = B e - t - 1 + B t e - t = B - 1 + B t e - t

Como x ˙ 0 = 0 :

0 = B - 1 + 0 ⇒ B = 1

Portanto,

x t = 1 + t e - t

Um esboço do gráfico é dado a seguir:

Resposta

x t = 1 + t e - t

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