Considere no plano um campo de forças conservativo , com energia potencial
isto é, . Uma partícula de massa é abandonada na posição , com velocidade nula. Determine a posição da partícula no instante .
Passo 1
Essa é uma questão que vamos ter que lembrar um pouquinho de física:
Como :
Para achar a força, tomamos o gradiente do potencial:
Assim,
Logo,
Ou ainda,
Passo 2
Para resolver esse sistema, escrevemos:
Assim, substituindo na segunda equação:
Ou ainda,
Essa EDO é homogênea com equação característica
Fazendo a substituição :
Resolvendo essa equação:
As duas soluções são
Como , obtemos as quatros soluções da equação característica:
Portanto, temos que
Passo 3
Derivando uma vez, achamos que
Derivando novamente:
Como :
Assim,
Passo 4
Das condições inicias, temos que
Assim,
Isolando na primeira equação:
Substituindo na segunda:
Logo,
Substituindo na terceira equação:
Fazendo o mesmo na última equação:
Assim,
Logo,
Assim, achamos que