Considere no plano um campo de forças conservativo F → x ,   y , com energia potencial

U x ,   y = x y - 15 8 y 2 ,

isto é, F → x ,   y = - ∇ U x ,   y . Uma partícula de massa m = 1 é abandonada na posição 1 ,   1 , com velocidade nula. Determine a posição da partícula no instante t .

Passo 1

Essa é uma questão que vamos ter que lembrar um pouquinho de física:

F → = m   a → = m   x ¨ ,   y ¨

Como m = 1 :

F → = x ¨ ,   y ¨

Para achar a força, tomamos o gradiente do potencial:

F → = - ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y

Assim,

F → = - y ,   x - 15 4 y

Logo,

x ¨ ,   y ¨ = - y , 15 4 y - x

Ou ainda,

x ¨ = - y y ¨ = 15 y 4 - x

Passo 2

Para resolver esse sistema, escrevemos:

y = -   x ¨ ⇒ y ¨ = - d 4 x d t 4

Assim, substituindo na segunda equação:

- d 4 x d t 4 = - 15 4 d 2 x d t 2 - x

Ou ainda,

x ' ' ' ' - 15 4 x ' ' - x = 0

Essa EDO é homogênea com equação característica

p 4 - 15 4 p 2 - 1 = 0

Fazendo a substituição p 2 = k :

k 2 - 15 4 k - 1 = 0

Resolvendo essa equação:

k = 15 4 ± 225 16 + 4 2 = 15 4 ± 17 4 2

As duas soluções são

k + = 4             e             k - = - 1 4

Como p 2 = k , obtemos as quatros soluções da equação característica:

p 1 = - 2 ,             p 2 = 2 ,           p 3 = - i 2             e           p 4 = i 2

Portanto, temos que

x t = A e - 2 t + B e 2 t + C cos ⁡ t 2 + D   s e n t 2

Passo 3

Derivando uma vez, achamos que

x ˙ t = - 2 A e - 2 t + 2 B e 2 t - C 2   s e n t 2 + D 2 cos ⁡ t 2

Derivando novamente:

x ¨ t = 4 A e - 2 t + 4 B e 2 t - C 4 cos ⁡ t 2 - D 4   s e n t 2

Como y = - x ¨ :

y t = - 4 A e - 2 t - 4 B e 2 t + C 4 cos ⁡ t 2 + D 4   s e n t 2

Assim,

y ˙ t = 8 A e - 2 t - 8 B e 2 t - C 8   s e n t 2 + D 8 cos ⁡ t 2

Passo 4

Das condições inicias, temos que

x 0 = y 0 = 1           e           x ˙ 0 = y ˙ 0 = 0

Assim,

A + B + C = 1 - 4 A - 4 B + C 4 = 1 - 2 A + 2 B + D 2 = 0 8 A - 8 B + D 8 = 0

Isolando C na primeira equação:

C = 1 - A - B

Substituindo na segunda:

- 4 A - 4 B + 1 4 1 - A - B = 1 ⇒ - 16 A - 16 B + 1 - A - B = 4

Logo,

17 A + 17 B = - 3 ⇒ B = - 3 17 - A

Substituindo na terceira equação:

- 4 A + 4   - 3 17 - A + D = 0 ⇒ - 8 A + D = 12 17 ⇒ D = 12 17 + 8 A

Fazendo o mesmo na última equação:

64 A - 64   - 3 17 - A + 12 17 + 8 A = 0

Assim,

136 A + 192 17 + 12 17 = 0 ⇒ A = - 204 17 ⋅ 136 = - 3 34

Logo,

D = 12 17 - 24 34 = 12 17 - 12 17 = 0

B = - 3 17 + 3 34 = - 3 34

C = 1 + 3 34 + 3 34 = 40 34 = 20 17

Assim, achamos que

x t = - 3 34 e - 2 t - 3 34 e - 2 t + 20 17 cos ⁡ t 2

y t = 6 17 e - 2 t + 6 17 e 2 t + 5 17 cos ⁡ t 2

Resposta

x t = - 3 34 e - 2 t - 3 34 e - 2 t + 20 17 cos ⁡ t 2

y t = 6 17 e - 2 t + 6 17 e 2 t + 5 17 cos ⁡ t 2

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