Considere no plano um campo de forças conservativo F → x ,   y , com energia potencial

U x ,   y = x y

Uma partícula de massa m = 1 é abandonada na posição 1 ,   1 , com velocidade nula.

Determine a posição da partícula no instante t . Qual é a trajetória descrita pela partícula?

Passo 1

Essa é uma questão que vamos ter que lembrar um pouquinho de física:

F → = m   a → = m   x ¨ ,   y ¨

O enunciado não disse isso, mas vamos supor que a massa da partícula é m = 1 . Essa é a única forma de chegarmos no resultado pedido! Portanto,

F → = x ¨ ,   y ¨

O primeiro passo é calcular o campo de forças F → = - ∇ U :

F → x ,   y = - ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y = - y ,   x

Portanto,

F → x ,   y = - y ,   - x

Logo,

x ¨ = - y y ¨ = - x

Passo 2

Da primeira equação, tiramos

y = - x ¨ ⇒ y ¨ = - x ' ' ' '

Substituindo na segunda equação:

- x ' ' ' ' = - x ⇒ x ' ' ' ' - x = 0

A equação característica associada é

p 4 - 1 = 0 ⇒ p 2 + 1 p 2 - 1 = 0

Logo,

p - 1 p + 1 p - i p + i = 0

Portanto, a raízes são

p 1 = - 1 ,             p 2 = 1 ,             p 3 = - i             e             p 4 = i

Com isso, a solução geral da equação é

x t = A e - t + B e t + C cos ⁡ t + D   s e n   t

Como x 0 = 1 :

1 = A + B + C ⇒ C = 1 - A - B

Portanto,

x t = A e - t + B e t + 1 - A - B cos ⁡ t + D   s e n   t

Derivando:

x ˙ t = - A e - t + B e t + A + B - 1   s e n   t + D cos ⁡ t

Como x ˙ 0 = 0 :

0 = - A + B + D ⇒ D = A - B

Assim,

x t = A e - t + B e t + 1 - A - B cos ⁡ t + A - B   s e n   t

x ˙ t = - A e - t + B e t + A + B - 1   s e n   t + A - B cos ⁡ t

Passo 3

Derivando novamente,

x ¨ t = A e - t + B e t + A + B - 1 cos ⁡ t + B - A   s e n   t

Como y = - x ¨ :

y t = - A e - t - B e t + 1 - A - B cos ⁡ t + A - B   s e n   t

Como y 0 = 1 :

- A - B + 1 - A - B = 1 ⇒ B = - A

Logo,

y t = - A e - t + A e t + 1 - 2 A cos ⁡ t + 2 A   s e n   t

Assim,

y ˙ t = A e - t + A e t + 2 A - 1   s e n   t + 2 A cos ⁡ t

Como y ˙ 0 = 0 :

0 = A + A + 2 A ⇒ A = B = 0

Portanto,

x t = cos ⁡ t             e             y t = cos ⁡ t

Desta forma, vemos que a trajetória da curva é

y = x ,           c o m - 1 ≤ x ≤ 1

Resposta

x t = cos ⁡ t             e             y t = cos ⁡ t

Ver Outros Exercícios desse livro