Considere a sequência

a_1 = sqrt(2) , a_2 = sqrt(2 sqrt(2)) , a_3 = sqrt(2 sqrt(2 sqrt(2))) , ...

Letra b) Calcule o limite

underset(n -> oo)(lim) a_n

Passo 1

Como visto na letra a, esta sequencia é convergente para um numero real a , logo o limite será:

underset(n -> oo)(lim) a_n = a

Mas qual o valor de a ? Vamos descobrir juntos

Passo 2

O limite.

underset(n -> oo)(lim) a_n + 1 = a

Como a_n + 1 = sqrt(2 a_n) , para todo n >= 1 . Sendo assim.

underset(n -> oo)(lim) a_n + 1 = underset(n -> oo)(l i m) sqrt(2 a_n)

Logo

a = sqrt(2 a)

Passo 3

Elevando a expressão anterior ao quadrado.

a^2 = 2 a

Isolando a

a = 2

Dessa maneira a sequencia a_n converge para 2

Resposta

DEMONSTRAÇÃO

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