É convergente ou divergente? Justifique.

Letra f)

s_n = sum_(k = 1)^n e^(- k)

Passo 1

A sequência s_n é igual a:

s_n = (1)/(e) + (1)/(e^2) + ... + (1)/(e^n)

Passo 2

Se dividirmos os dois lados por e obteremos.

(s_n)/(e) = ((1)/(e^2) + (1)/(e^3) + (1)/(e^n)) + (1)/(e^(n + 1))

E deixarmos só o contido no parêntese do lado direito

(s_n)/(e) - (1)/(e^(n + 1)) = ((1)/(e^2) + (1)/(e^3) + (1)/(e^n))

Passo 3

Vamos “passar” um termo da primeira sequencia para a esquerda, e você logo vera o pq disso.

s_n - (1)/(e) = (1)/(e^2) + ... + (1)/(e^n)

Esta ultima expressão é igual ao contido no parêntese do passo 2, logo.

s_n - (1)/(e) = (s_n)/(e) - (1)/(e^(n + 1))

Colocando s_n do mesmo lado.

s_n ((1 - e)/(e)) = (1)/(e) - (1)/(e^(n + 1))

Logo a sequencia será:

s_n = ((1)/(e) - (1)/(e^(n + 1)))/(((1 - e)/(e))) = (1 - (1)/(e^n))/(1 - e)

Passo 4

Se aplicarmos o limite de n -> oo

underset(n -> oo)(lim) s_n = underset(n -> oo)(l i m) ((1 - (1)/(e^n))/(1 - e)) = (1)/(1 - e)

Sendo assim a sequencia é CONVERGENTE

Resposta

A sequencia é CONVERGENTE, pois underset(n -> oo)(lim) s_n = (1)/(1 - e)

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