Considere a série , onde é a sequência que começa com a e cada termo é obtido multiplicando o anterior alternadamente por b ou por a:
com
d) Prove que Utilize, então o critério da raiz para concluir a convergência da série.
Passo 1
Meus queridos, inicialmente, sabemos que a sequência é alternada, portanto:
Para n ímpar: tal que equivalem, respectivamente a
Para n par: tal que equivalem, respectivamente a
Então, precisamos calcular os dois limites.
Para n par:
Para n ímpar:
Logo, concluímos que tanto para n par quanto para n ímpar o limite converge para um valor comum.
Passo 2
Vamos fazer uso do critério da raiz para resolver essa questão, logo, vamos direto ao ponto meus lindos:
Onde,
a) é convergente.
b) é divergente.
c) o critério não nos revela nada.
Como calculamos no item anterior, sabemos que, independente de n:
E, segundo o enunciado, também sabemos que:
Como:
Pelo critério da raiz, concluímos que a série é convergente.
Resposta
A série é convergente.