6 - Seja , o wronskiano de três soluções do sistema :
Mostre que
A)
Passo 1
Poxa, podemos calcular esse determinante aí e encontrar a forma estendida do wronskiano:
Veja que podemos escrevê-lo assim:
Escrever assim é interessante, pois daí conseguiremos derivar de uma forma mais tranquila. Aplicando então a regra do produto vamos ter:
Sim, eu to usando a notação como derivada também. É a mesma coisa, só que acho mais bonito haha.
Repare que as três primeiras parcelas, é muiiiiito similar o wronskiano na equação , o que sugere ser essa três primeiras parcelas o seguinte determinante:
E de fato é mesmo! Então, as parcelas contendo a derivada dados parênteses, só pode ser os outros dois determinantes! Vamos verificar?
Passo 2
Vamos pegar aqui apenas as parcelas que contém a derivada dos parênteses ok? Para não ficar muita coisa escrita:
Aplicando a regra da soma e do produto nesses parênteses...
Multiplicando esses termos de fora...
Veja que podemos colocar cada uma dessas derivadas em evidência como esses dois termos que eu coloquei em negrito aí (mas da para achar o par de todo mundo). Fazendo isso e colocando evidência...
Agora vamos só ordenar e...
AHA! Podemos retornar para o wronskiano:
Repare que temos três trios aí então: os três primeiros de os três seguintes de e os três últimos de cada um deles é um desses determinantes aqui:
Provando que de fato isso acontece !
Resposta
Questão de demonstração.