Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1b
1. Considere a série
Já sabemos que esta série é convergente e tem por soma .
B - Mostre que existe uma reordenação desta série com soma , onde é uma real qualquer.
Passo 1
Que questão linda, neh? Um matemático até se emocionaria! Pena que não somos um ne não?
Calma, muleque! Não é impossível. Essa dica que ele deu aí é a chave, veja!
Passo 2
A série
Sabemos que essa série aí tem o resultado , mas se organizamos de modo que somemos apenas os positivos primeiro e os negativos a gente soma só depois de todos os positivos, como a série é infinita, sempre vai ter um positivo a mais pra por de modo que nunca vamos conseguir somar os negativos e aí essa série passa a ser:
Saca?
ORA! Se em uma organização ela dá e em outra ela já vai para o infinito, deve existir uma organização que ela dá um número intermediário, tipo , saca? E de fato, se consideramos um , para algum , existe esse de modo que a soma dos ’s primeiro positivos e depois dos ’ primeiros negativos e assim sucessivamente como aqui:
Essa série passa a ser :
Nesse caso, certamente será positivo, mas se quisermos um negativo, basta consideramos os negativos começando:
Então de fato pode ser qualquer número real que sempre acharemos um número de elementos a colocar primeiro de modo que a soma acaba sendo igual a ele no final das contas .
Resposta
Questão de demonstração.