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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 3

3. Prove que se

∑ k = 0 + ∞ a k

For condicionalmente convergente e se s for um real qualquer, então existirá uma reordenação desta série com soma s .

Passo 1

Bem, só o fato de uma série ser condicionalmente convergente, já sabemos algumas coisas sobre ela:

  1. Essa série converge para um valor desconhecido C :

    2. ∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = C

  2. Se ela é condicionalmente convergente, ela não será absolutamente convergente, o que significa que a série:

∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = ∞

Ora dessa segunda, podemos dizer que os termos são então alternantes entre positivo e negativo porque se fosse só positivo, não ia precisar do módulo...

∑ k = 0 + ∞ a k = ∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = C

E se ela fosse só negativa, também não ia...

∑ k = 0 + ∞ a k = - ∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = - C

Também não adianta ter um número finito de números negativos e infinitos de positivos, ou vice versa, porque daí era só retirar esses números finitos da parada e o restante ainda seria infinito só de um sinal, forçando a série ser absolutamente convergente, saca?

Então a única opção é a série ser alternada, ou seja, ter uma quantidade infinita de positivos e outra infinita de negativos.

Passo 2

Beleza! Então vamos supor que a nossa série tenha

∑ k = 0 + ∞ a k

Valores alternados e ela convergem para C .

Agora, imagine que somemos todos os positivos primeiro, para depois somar os negativos. É uma ordem possível, mas será que ela gera o mesmo valor C ?

Não, neh? Porque se tem infinitos valores positivos, quando é que a gente vai começar a somar os negativos? NUNCA! Forçando a série ter outro valor, tipo s . Saca?

Do mesmo jeito que a gente está somando só os positivos, poderíamos somar só os negativos, aí ela teria outro valor ( s 1 , por exemplo). Ou ainda poderíamos somar em outra ordem qualquer fazendo ela convergir para um número qualquer (ou talvez nem convergir), sacou?

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro