Considere o sistema:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Sejam λ 1   e   λ 2 as raízes da equação característica

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0

Seja,

x = x t y = y t   t ∈ R

Uma solução qualquer do sistema. Prove:

(b) Se λ 1 = α + β i     e   λ 2 = α - β i ,   c o m   α < 0   e   β ≠ 0 , então

lim t → ∞ ⁡ x t , y t = 0,0

Passo 1

Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.

Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.

Passo 2

Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0

E então encontraremos a seguinte equação:

λ 2 - a 11 + a 22 λ + a 11 a 22 - a 21 a 12 = 0

Passo 3

Se encontrarmos raízes complexas do tipo: λ = - α ± β i

Considerando que v = m n seja o autovetor para λ = - α + β i

Chegamos na seguinte solução:

x y = m n e λ t

Mas,

e λ t = e - α + β i t

E por relações de Laplace sabemos que:

e a ± b i t = e a t cos ⁡ b t + i sin ⁡ b t

Então,

e - α + β i t = e - α t cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

Ou seja, a solução será:

x y = m n e - α t cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

“abrindo” a expressão:

x = m   e - α t cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t y = n   e - α t cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

Agora para facilitar a visualização vamos tomar o seguinte exemplo, adotando v = m = 1 n = i , teremos:

x = cos ⁡ β t e - α t + i sin ⁡ β t e - α t y = - sin ⁡ β t e - α t + i cos ⁡ β t e - α t

Lembre-se de que i 2 = - 1

E então a forma matricial da solução será:

x y = C 1 cos ⁡ β t - sin ⁡ β t e - α t + C 2 sin ⁡ β t cos ⁡ β t e - α t

Em outras palavras,

x t = C 1 cos ⁡ β t e - α t + C 2 sin ⁡ β t e - α t y t = C 1 - s i n ⁡ ( β t ) e - α t + C 2 cos ⁡ β t e - α t

Agora, se tomarmos o limite para t → ∞ ,

lim t → ∞ ⁡ C 1 cos ⁡ β t e - α t + C 2 sin ⁡ β t e - α t = C 1 lim t → ∞ ⁡ cos ⁡ β t e - α t + C 2 lim t → ∞ ⁡ sin ⁡ β t e - α t

E

lim t → ∞ ⁡ C 1 - sin ⁡ β t e - α t + C 2 cos ⁡ β t e - α t = - C 1 lim t → ∞ ⁡ sin ⁡ β t e - α t + C 2 lim t → ∞ ⁡ cos ⁡ β t e - α t

Sabemos que quando t → ∞ , então e - t → 0

Portanto:

lim t → ∞ ⁡ x t , y t = 0,0

Resposta

Concluímos então, que quando tivermos raízes complexas, do tipo λ = a ± b i teremos uma solução do tipo:

x y = m n e - α t cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

E então,

lim t → ∞ ⁡ x t , y t = 0,0

Pois e - t → 0   q u a n d o   t → ∞ .

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