Considere o sistema:
Sejam as raízes da equação característica
Seja,
Uma solução qualquer do sistema. Prove:
(b) Se então
Passo 1
Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.
Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:
Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.
Passo 2
Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
E então encontraremos a seguinte equação:
Passo 3
Se encontrarmos raízes complexas do tipo:
Considerando que seja o autovetor para
Chegamos na seguinte solução:
Mas,
E por relações de Laplace sabemos que:
Então,
Ou seja, a solução será:
“abrindo” a expressão:
Agora para facilitar a visualização vamos tomar o seguinte exemplo, adotando , teremos:
Lembre-se de que
E então a forma matricial da solução será:
Em outras palavras,
Agora, se tomarmos o limite para
E
Sabemos que quando então
Portanto:
Resposta
Concluímos então, que quando tivermos raízes complexas, do tipo teremos uma solução do tipo:
E então,
Pois .