1. Resolva

C)

{[[overset(˙)(x) = y - z],[overset(˙)(y) = - 2 y + 3 z],[overset(˙)(z) = x - 2 y + 3 z]])

Passo 1

Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?

Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes A baseado no sistema:

A = [[[0,1,-,1],[0,-,2,3],[1,-,2,3]]]

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores lambda de uma matriz são do tipo:

det (A - lambda I) = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair lambda na diagonal principal da matriz A , veja:

det ([[0,-,lambda,1,-,1],[0,-,2,-,lambda,3],[1,-,2,3,-,lambda]]) = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

([[-,lambda,1,-,1],[0,-,2,-,lambda,3],[1,-,2,3,-,lambda]]) [[-,lambda,1,],[0,-,2,-,lambda,],[1,-,2,]] = 0 ->

- lambda (- 2 - lambda) (3 - lambda) + 3 + 0 - (0) - (6 lambda) + (- 2 - lambda) = 0

Simplificando isso aí...

- lambda (- 6 + 2 lambda - 3 lambda + lambda^2) + 3 - 6 lambda - 2 - lambda = 0

- lambda^3 + lambda^2 + 6 lambda + 1 - 6 lambda - lambda = 0

- lambda^3 + lambda^2 - lambda + 1 = 0

lambda^3 - lambda^2 + lambda - 1 = 0 ->

Essa equação é pode ser fatorada em um cubo de dois termos:

(lambda - 1)^3 = 0

Então, se a solução dessa equação é um desses 3 valores aqui:

lambda_1 = 1 , lambda_2 = 1 e lambda_3 = 1

O conjunto de soluções fundamentais x^((k)) para cada um deles vão ser:

  • Para o lambda_1 que é real e o primeiro a ser analisado...
  • x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

  • Para lambda_2 que é real e o segundo a ser analisado...
  • x^((2)) = v_1 t e^(lambda_1 t) + v_2 e^(lambda_2 t)

  • Para o lambda_3 que é real e o terceiro a ser analisado:

x^((3)) = v_1 t^2 e^(lambda_1 t) + v_2 t e^(lambda_2 t) + v_3 e^(lambda_1 t)

Onde v_1 , v_2 e v_3 são os autovetores determinados por:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

(A - lambda_2 I) v_2 = v_1

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_1 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda_1,1,-,1],[0,-,2,-,lambda_1,3],[1,-,2,3,-,lambda_1]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_1 = 1 ...

([[-,1,1,-,1],[0,-,3,3],[1,-,2,2]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- a + b - c = 0],[- 3 b + 3 c = 0],[a - 2 b + 2 c = 0]])

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 3 b + 3 c = 0 ->

b = c

Jogando esse resultado na primeira equação...

a = 0

Se escolhermos c = 1 , então a = 0 e b = 1 também. Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_1 = ([[0],[1],[1]])

Passo 4

AUTOVETOR 2:

(A - lambda_2 I) v_2 = v_1

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_2 I) ([[a],[b],[c]]) = ([[0],[1],[1]])

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda_2,1,-,1],[0,-,2,-,lambda_2,3],[1,-,2,3,-,lambda_2]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[0],[1],[1]])

Como lambda_2 = 1 ...

([[-,1,1,-,1],[0,-,3,3],[1,-,2,2]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[0],[1],[1]])

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- a + b - c = 0],[- 3 b + 3 c = 1],[a - 2 b + 2 c = 1]])

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 3 b + 3 c = 1 ->

b = c - (1)/(3)

Jogando esse resultado na primeira equação...

a = - (1)/(3)

Se escolhermos c = (1)/(3) e b = 0 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_2 = ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]])

Passo 5

AUTOVETOR 3:

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_3 I) ([[a],[b],[c]]) = ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]])

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda_2,1,-,1],[0,-,2,-,lambda_2,3],[1,-,2,3,-,lambda_2]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]])

Como lambda_2 = 1 ...

([[-,1,1,-,1],[0,-,3,3],[1,-,2,2]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]])

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- a + b - c = - (1)/(3)],[- 3 b + 3 c = 0],[a - 2 b + 2 c = (1)/(3)]])

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 3 b + 3 c = 0 ->

b = c

Jogando esse resultado na primeira equação...

a = (1)/(3)

Se escolhermos c = 1 e b = 1 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_2 = ([[(1)/(3)],[1],[1]])

Passo 6

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

x^((2)) = v_1 t e^(lambda_1 t) + v_2 e^(lambda_2 t)

x^((3)) = v_1 t^2 e^(lambda_1 t) + v_2 t e^(lambda_2 t) + v_3 e^(lambda_1 t)

Substituindo...

x^((1)) = ([[0],[1],[1]]) e^t

x^((2)) = ([[0],[1],[1]]) t e^t + ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]]) e^t

x^((3)) = ([[0],[1],[1]]) t^2 e^t + ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]]) t e^t + ([[(1)/(3)],[1],[1]]) e^t

A solução final é então dada pela expressão:

([[x],[y],[z]]) = c_1 x^((1)) + c_2 x^((2)) + c_3 x^((3)) ->

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[0],[1],[1]]) e^t + c_2 ([[0],[1],[1]]) t e^t + c_2 ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]]) e^t + c_3 ([[0],[1],[1]]) t^2 e^t + c_3 ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]]) t e^t + c_3 ([[(1)/(3)],[1],[1]]) e^t

Resposta

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[0],[1],[1]]) e^t + c_2 ([[0],[1],[1]]) t e^t + c_2 ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]]) e^t + c_3 ([[0],[1],[1]]) t^2 e^t + c_3 ([[- (1)/(3)],[0],[(1)/(3)]]) t e^t + c_3 ([[(1)/(3)],[1],[1]]) e^t

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