1. Resolva
C)
Passo 1
Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?
Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes baseado no sistema:
Agora devemos buscar os autovalores dela!
Passo 2
AUTOVALORES:
Os autovalores de uma matriz são do tipo:
Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair na diagonal principal da matriz , veja:
O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?
Simplificando isso aí...
Essa equação é pode ser fatorada em um cubo de dois termos:
Então, se a solução dessa equação é um desses valores aqui:
O conjunto de soluções fundamentais para cada um deles vão ser:
- Para o que é real e o primeiro a ser analisado...
- Para que é real e o segundo a ser analisado...
- Para o que é real e o terceiro a ser analisado:
Onde , e são os autovetores determinados por:
Partiu calcular esses autovetores agora?
Passo 3
AUTOVETOR 1:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...
Jogando esse resultado na primeira equação...
Se escolhermos , então e também. Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:
Passo 4
AUTOVETOR 2:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Novamente teremos...
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...
Jogando esse resultado na primeira equação...
Se escolhermos e . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:
Passo 5
AUTOVETOR 3:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Novamente teremos...
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...
Jogando esse resultado na primeira equação...
Se escolhermos e . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:
Passo 6
Logo, as três soluções fundamentais serão:
Substituindo...
A solução final é então dada pela expressão: