Considere o sistema:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

(d) Suponha λ 1 > 0   o u   λ 2 > 0 . Prove que existe uma solução

x = x t y = y t

Tal que,

lim t → + ∞ ⁡ x t , y t = + ∞

Passo 1

Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.

Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.

Passo 2

Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0

E então encontraremos a seguinte equação:

λ 2 - a 11 + a 22 λ + a 11 a 22 - a 21 a 12 = 0

Passo 3

Agora, supondo λ 1 > 0 e considerando que v = m 1 n 1 seja um autovetor para λ 1 , com m   e   n   R e a i s , chegamos na seguinte solução:

x y = m 1 n 1 e λ 1 t

Então,

x = m 1 e λ 1 t y = n 1 e λ 1 t

Logo,

lim t → + ∞ ⁡ ( m 1 e λ 1 t   ;   n 1 e λ 1 t ) = + ∞

Lembre-se de que:

a , b ; c , d = a - c ; b - d = a - c 2 + b - d 2

Então, teremos:

e λ 1 t m 1 - n 1 = e 2 λ 1 t m 1 - n 1 2

Substituindo no limite:

l i m t → + ∞ e λ 1 t m 1 - n 1 2 = + ∞

Pois quando t → ∞ então e t → ∞ .

Resposta

Então, quando temos uma solução da forma:

x = m 1 e λ 1 t y = n 1 e λ 1 t

Vimos que:

lim t → + ∞ ⁡ | x t ; y t | = + ∞ .

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