Considere o sistema:
(d) Suponha Prove que existe uma solução
Tal que,
Passo 1
Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.
Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:
Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.
Passo 2
Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
E então encontraremos a seguinte equação:
Passo 3
Agora, supondo e considerando que seja um autovetor para , com , chegamos na seguinte solução:
Então,
Logo,
Lembre-se de que:
Então, teremos:
Substituindo no limite:
Pois quando então
Resposta
Então, quando temos uma solução da forma:
Vimos que: