Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.
(b)
Passo 1
Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.
O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.
Então:
Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:
Perceba então que no caso do nosso sistema,
Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
Passo 2
Teremos então:
Encontramos duas raízes, que chamamos de autovalores da matriz A, são eles:
Podemos obter um autovetor, para cada autovalor.
Para :
Realizando a opreção entre as matrizes,
Trivialmente,
Portanto, tomando o autovalor fornece a seguinte solução:
Agora, o autovetor para :
Logo,
Trivialmente, e adotando
Concluimos que a solução para o autovalor è:
Passo 3
Teremos a seguinte solução geral para o sistema:
Aplicando as condições iniciais, teremos:
Resolvendo o sistema, encontramos
Portanto a solução do sistema será:
Resposta
Cncluimos então que o sistema admite uma solução do tipo: