Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.

(b) x ˙ = y y ˙ = x     e     x 0 = 2 y 0 = 2

Passo 1

Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.

Então:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Perceba então que no caso do nosso sistema,

A = 0 1 1 0

Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = 0 - λ 1 1 0 - λ = 0

Passo 2

Teremos então:

det ⁡ A - λ I = λ 2 - 1 = 0

Encontramos duas raízes, que chamamos de autovalores da matriz A, são eles:

λ 1 = 1     e     λ 2 = - 1

Podemos obter um autovetor, v = m n para cada autovalor.

Para λ 1 :

0 - 1 1 1 0 - 1   .   m n = 0 0

Realizando a opreção entre as matrizes,

- m + n = 0 m - n = 0

Trivialmente, m = n

Portanto, tomando m = 1 o autovalor λ 1 fornece a seguinte solução:

m n e λ 1 t = 1 1 e t

Agora, o autovetor para λ 2 = - 1 :

0 - - 1 1 1 0 - - 1   .   m n = 0 0

Logo,

m + n = 0 m + n = 0

Trivialmente, m = - n e adotando m = 1 → n = - 1

Concluimos que a solução para o autovalor λ 2     a d o t a n d o   m = 1 è:

m n e λ 2 t = 1 - 1 e - t

Passo 3

Teremos a seguinte solução geral para o sistema:

x y = C 1 1 1 e t + C 2 1 - 1 e - t

Aplicando as condições iniciais, teremos:

x 0 = C 1 e 0 + C 2 e - 0 = 2 y 0 = C 1 e 0 - C 2 e - 0 = 2

Resolvendo o sistema, encontramos C 1 = 2     e     C 2 = 0 .

Portanto a solução do sistema será:

x y = 2 1 1 e t

Resposta

Cncluimos então que o sistema admite uma solução do tipo:

x t = 2 e t y t = 2 e t

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