É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Critério do Limite. Sejam e duas séries, com e , para todo , onde é um natural fixo. Suponhamos que
Então se real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.
Se e se diverge, então também diverge.
Se se converge então também converge.
E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.
Passo 2
Bom, poderíamos escolher a série
que é divergente e usar o critério do limite. Mas seria a mesma coisa que aplicar o teste da divergência na série original. Então vamos fazer isso. Lembra o teste da divergência? Se aplicarmos o e ele for diferente de zero, temos que nossa série dizerge.
Então tome
Ou seja incloncusivo. Assim vamos aplicar H’Lopital.
Lembra como derivar ?
Tome que
Passando dos dois lados, temos
Derivando dos dois lados, temos que pela regra da cadeia
E o que era ? Então temos
Assim repare que
Bom, por fim chemamos que
Ou seja, nossa série diverge.
Resposta
divergente