É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 1)^(+ oo) (2^k)/(k^5)

Passo 1

Critério do Limite. Sejam sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) c_k duas séries, com a_k > 0 e c_k > 0 , para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + oo e se c_k diverge, então a_k também diverge.

Se L = 0 se c_k converge então a_k também converge.

E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.

Passo 2

Bom, poderíamos escolher a série

sum_(k = 1)^(+ oo) 1

que é divergente e usar o critério do limite. Mas seria a mesma coisa que aplicar o teste da divergência na série original. Então vamos fazer isso. Lembra o teste da divergência? Se aplicarmos o underset(k -> oo)(lim) a_k e ele for diferente de zero, temos que nossa série dizerge.

Então tome

underset(k -> oo)(lim) (2^k)/(k^5) = (oo)/(oo)

Ou seja incloncusivo. Assim vamos aplicar H’Lopital.

Lembra como derivar 2^x ?

Tome que

y = 2^x

Passando l n dos dois lados, temos

ln y = x ln 2

Derivando dos dois lados, temos que pela regra da cadeia

(y^')/(y) = ln 2 -> y^' = y ln 2

E o que era y ? Então temos

y^' = 2^x ln 2

Assim repare que

underset(k -> oo)(lim) (2^k)/(k^5) = H L = underset(k -> oo)(lim) (2^k ln 2)/(5 k^4) = H L = underset(k -> oo)(lim) (2^k (ln 2)^2)/(20 k^3) = H L = underset(k -> oo)(lim) (2^k (ln 2)^3)/(60 k^2)

Bom, por fim chemamos que

underset(k -> oo)(lim) (2^k)/(k^5) = (H L)_5 = underset(k -> oo)(lim) (2^k (ln 2)^5)/(120) = + oo

Ou seja, nossa série diverge.

Resposta

divergente

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