É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 0)^(+ oo) ((k + 1) e^(- k))/(2 k + 3)

Passo 1

Critério do Limite. Sejam sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) c_k duas séries, com a_k > 0 e c_k > 0 , para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + oo e se c_k diverge, então a_k também diverge.

Se L = 0 se c_k converge então a_k também converge.

E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.

Mas é importante lembrar também a série geométrica, dada por

sum_(k = 0)^(+ oo) r^k

Na qual, se |r| < 1 , nossa série é dita convergente, caso contrário, nossa série é dita divergente.

Passo 2

Vamos aplicar nosso critério do limite, utilizando como base a série sum b_k com

b_k = (1)/(e^k)

Na qual,

sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/(e^k)

É dita série geométrica, com r = 1 // e < 1 , ou seja, nossa série é convergente.

Assim aplicando o critério do limite, temos

underset(k -> + oo)(lim) ((k + 1) e^(- k))/(2 k + 3) * e^k = underset(k -> + oo)(lim) (k + 1)/(2 k + 3)

Colocando k em evidência

underset(k -> + oo)(lim) (1 + (1)/(k))/(2 + (3)/(k)) = (1)/(2) > 0

Assim temos que pelo critério do limite, nossa série

sum_(k = 0)^(+ oo) ((k + 1) e^(- k))/(2 k + 3)

Também é convergente

Resposta

convergente

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