É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 2)^(+ oo) (k^2 - 3)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1))

Passo 1

Critério do Limite. Sejam sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) c_k duas séries, com a_k > 0 e c_k > 0 , para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + oo e se c_k diverge, então a_k também diverge.

Se L = 0 se c_k converge então a_k também converge.

E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever nossa série. Assim tome que

sum_(k = 2)^(+ oo) (k^2 - 3)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1)) = sum_(k = 2)^(+ oo) (k^2)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1)) - sum_(k = 2)^(+ oo) (3)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1))

Na qual, para que a série principal converja, temos que as duas novas séries tem que convergir também. Caso uma delas divirjar, então a série principal já será divergente.

Vamos primeiro olhar a primeira série, e torcer pra ela divergir. Assim primeiro vamos supor que ela seja divergente. Essa suposição servirá para escolhermos nossa outra série para comparar.

Vamos escolher

sum_(k = 2)^(+ oo) (k^2)/(root(3)(k^9)) = sum_(k = 2)^(+ oo) (1)/(k)

Sabemos que essa série que escolhemos é dita série harmônica e é divergente. Logo vamos utilizá-la para tentar mostrar que nossa série principal é divergente também.

Passo 3

Assim como descrevemos no passo 1, vamos tomar o critéria do Limite, ou seja

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = underset(k -> + oo)(lim) ((k^2 - 3)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1)))/((k^2)/(root(3)(k^9))) = underset(k -> + oo)(lim) (k^2)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1)) * (root(3)(k^9))/(k^2)

= underset(k -> + oo)(lim) (k^3)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1))

Agora vamos colocar no denominador k^3 em evidência

= underset(k -> + oo)(lim) (k^3)/(k^3 root(3)(1 + 1 // k^7 + 1 // k^9)) = underset(k -> + oo)(lim) (1)/(root(3)(1 + 1 // k^7 + 1 // k^9)) = 1

Logo temos que, se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes. Então como a série que escolhemos era divergente, temos que

sum_(k = 2)^(+ oo) (k^2)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1))

Também é, e consequentemente

sum_(k = 2)^(+ oo) (k^2 - 3)/(root(3)(k^9 + k^2 + 1))

Também será divergente

Resposta

divergente

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