Mostre que as séries dadas são convergentes. Justifique

∑ n = 1 + ∞ n 2 + 5 n 2 + 3 - 1

Passo 1

Critério da comparação. Sejam as séries ∑ k = 0 + ∞ a k e ∑ k = 0 + ∞ b k . Suponha que exista um um natural p tal que, para todo k ≥ p , 0 ≤ a k ≤ b k . Nesta condições, tem-se:

i ∑ k = 0 + ∞ b k   c o n v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   c o n v e r g e n t e

( i i )   ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e

Passo 2

Se simplesmente aplicássemos o critério da divergência, teríamos que o limite de nosso a n tendendo ao infinito seria nulo. Logo esse não é o critério que queremos aplicar.

Vamos trabalhar primeiro nosso a n . Assim escreva

a n = n 2 + 5 n 2 + 3 - 1 = n 2 + 5 - n 2 + 3 n 2 + 3 = 2 n 2 + 3

Assim vamos usar a p-serie com p = 2 . Lembrando que p-séries são convergentes para p > 1 e divergentes para p ≤ 1 .

Assim teremos que

∑ n = 1 + ∞ 2 n 2 > ∑ n = 1 + ∞ 2 n 2 + 3

E assim pelo teste da comparação, temos que

∑ n = 1 + ∞ 2 n 2 + 3 = ∑ n = 1 + ∞ n 2 + 5 n 2 + 3 - 1

Também será convergente.

Resposta

convergente

Ver Outros Exercícios desse livro