É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 1)^(+ oo) (sqrt(k) + root(3)(k))/(k^2 + 3 k + 1)

Passo 1

Critério do Limite. Sejam sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) c_k duas séries, com a_k > 0 e c_k > 0 , para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + oo e se c_k diverge, então a_k também diverge.

Se L = 0 se c_k converge então a_k também converge.

E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.

Passo 2

Vamos sofrer um pouquinho? Hahaha, mentira, eu sofri e venho lhe trazer a luz.

Vamos fazer um b_k da seguinte forma

sum_(k = 1)^(+ oo) (sqrt(k))/(k^2) = sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^((3)/(2)))

Uma p-série com p = 3 // 2 . Se lembrarmos bem de nossa p-série, temos que, quando p > 1 , nossa série é convergente, mas quando p <= 1 , nossa série é divergente. No caso temos uma série convergente.

Assim podemos então fazer

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(b_k) = underset(k -> + oo)(lim) ((sqrt(k) + root(3)(k))/(k^2 + 3 k + 1))/((sqrt(k))/(k^2)) = underset(k -> + oo)(lim) (sqrt(k) + root(3)(k))/(k^2 + 3 k + 1) * (k^2)/(sqrt(k))

E agora só precisamos resolver hahahaha.

Passo 3

Começamos colocando k^2 sqrt(k) em evidência. Assim ficamos com

underset(k -> + oo)(lim) (k^2 sqrt(k) [1 + (1)/(root(6)(k))])/(k^2 sqrt(k) [1 + (3)/(k sqrt(k)) + (1)/(k^2 sqrt(k))]) = underset(k -> + oo)(lim) ([1 + (1)/(root(6)(k))])/([1 + (3)/(k sqrt(k)) + (1)/(k^2 sqrt(k))])

Quando aplicamos nosso limite, temos

underset(k -> + oo)(lim) ([1 + (1)/(+ oo)])/([1 + (3)/(+ oo) + (1)/(+ oo)]) = 1 > 0

Ou seja, pelo critério do limite, temos que a série é dita convergente.

Resposta

convergente

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