É convergente ou divergente? Justifique.

s n = ∑ k = 2 n 1 k . ln ⁡ k

Sugestão: Verifique que ∫ 2 + ∞ 1 x . ln ⁡ x d x = + ∞ .

Passo 1

Vamos seguindo para nossa última letra, ok?

A primeira coisa que podemos reparar aqui é que a função é contínua para todo ponto quando k ≥ 2 . Quando nós resolvemos a integral sugerida:

∫ 2 + ∞ 1 x . ln ⁡ x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∫ 2 n 1 x . ln ⁡ x d x = lim n → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) n 2

Aplicando o intervalo:

lim n → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) n 2 = lim n → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( ln ⁡ n ) - ln ⁡ ( ln ⁡ 2 ) = + ∞

Sendo assim, pelo teste da integral nós podemos concluir que a série é divergente !!

Legal, não foi?

Resposta

D i v e r g e n t e   ‼

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