Mostre que, para todo natural n, tem-se: (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = ((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi) Passo 1Preparados para começar? Então vamoo que vamooo ... Segundo as alternativas anteriores nós podemos escrever que: (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = ((2 n)/(2 n + 1) int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n - 1) (x) . d x)/((2 n - 1)/(2 n) int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n - 2) (x) . d x) Se nós fizermos esta etapa por mais 2 n - 2 vezes, vamos obter: (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (int_0^((pi)/(2) ) s e n (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) d x) Resolvendo a integral: (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (- cos x | [[(pi)/(2)],[0]])/(x | [[(pi)/(2)],[0]]) E aplicando o intervalo: (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (- ( 0 - 1 ))/((pi)/(2) - 0) (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (2)/(pi) (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = ((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi) Tranquilo ?? Resposta C O m o v i s t o a c i m a ‼ ‼ MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroVer TambémVer Livro Guidorizzi - Vol. 4 Ver exercício 1.2 - 1hVer exercício 1.2 - 6