Mostre que, para todo natural n, tem-se:

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = ((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi)

Passo 1

Preparados para começar?

Então vamoo que vamooo ...

Segundo as alternativas anteriores nós podemos escrever que:

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = ((2 n)/(2 n + 1) int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n - 1) (x) . d x)/((2 n - 1)/(2 n) int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n - 2) (x) . d x)

Se nós fizermos esta etapa por mais 2 n - 2 vezes, vamos obter:

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (int_0^((pi)/(2) ) s e n (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) d x)

Resolvendo a integral:

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (- cos x | [[(pi)/(2)],[0]])/(x | [[(pi)/(2)],[0]])

E aplicando o intervalo:

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (- ( 0 - 1 ))/((pi)/(2) - 0)

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] (2)/(pi)

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = ((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi)

Tranquilo ??

Resposta

C O m o v i s t o a c i m a ‼

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