É convergente ou divergente? Justifique.

d) sum_(k = 3)^(+ oo) ((k^5 + 3 k + 1)^((1)/(3)))/(k^3 * (ln k)^2) .

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Nossa sequencia escolhida para comparação será c_k = (1)/(k * (ln k)^2) que como vimos no exercício 6e) é convergente, e nossa sequência que queremos descobrir é a_k = ((k^5 + 3 k + 1)^((1)/(3)))/(k^3 * (ln k)^2) . Fazendo underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) , vamos ter que

underset(k -> + oo)(lim) (((k^5 + 3 k + 1)^((1)/(3)))/(k^3 * (ln k)^2))/((1)/(k * (ln k)^2)) = underset(k -> + oo)(lim) ((k^5 + 3 k + 1)^((1)/(3)))/(k^2)

Se analisarmos bem a equação, vamos ver que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. Essa diferença já começa a ser vista em k = 4 ! Assim, vamos ter que o resultado desse limite será:

underset(k -> + oo)(lim) ((k^5 + 3 k + 1)^((1)/(3)))/(k^2) = 0

E pelo terceiro caso do critério do limite, vemos que nossa série inicial é convergente, já que a que usamos como comparação também era.

Resposta

C o n v e r g e n t e

Ver Outros Exercícios desse livro