3. É convergente ou divergente? Justifique.

d) sum_(k = 1)^(oo) ((1)/(sqrt(k)) - (1)/(sqrt(k + 1))) (1)/(sqrt(k))

Passo 1

Seja a série sum_(k = 1)^(oo) ((1)/(sqrt(k)) - (1)/(sqrt(k + 1))) (1)/(sqrt(k)) .

Consideremos a_k = (1)/(sqrt(k)) e b_k = (1)/(sqrt(k)) - (1)/(sqrt(k + 1))

Temos que a_k é decrescente e underset(k -> oo)(lim) a_k = 0 ,

|sum_(k = 1)^(oo) ((1)/(sqrt(k)) - (1)/(sqrt(k + 1)))| = 1 - (1)/(sqrt(2)) + (1)/(sqrt(2)) - (1)/(sqrt(3)) + (1)/(sqrt(3)) - (1)/(sqrt(4)) + ... + (1)/(sqrt(n)) - (1)/(sqrt(n + 1)) = 1 - (1)/(sqrt(n + 1))

Passo 2

Logo,

|sum_(k = 1)^(oo) ((1)/(sqrt(k)) - (1)/(sqrt(k + 1)))| <= 1

As sequências a_k e b_k satisfazem as condições do critério de Dirichlet.

Logo, a série sum_(k = 1)^(oo) ((1)/(sqrt(k)) - (1)/(sqrt(k + 1))) (1)/(sqrt(k)) é convergente.

Resposta

Demonstração.

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