2. Seja f n ,   n ≥ 1 , uma sequência de funções definidas em A. Seja B C A. Suponha que, para todo x ∈ B e para todo ε > 0 , existe n c tal que

n > n 0   e   m > n 0 → f n x - f m ( x ) < ε

Mostre que existe f : B → R tal que, para todo x ∈ B ,

lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) = f ( x )

Passo 1

Da hipótese e tendo em vista o critério de Cauchy para sequência numérica, segue que para cada x em B a sequência numérica f n x ,   n ≥ 1 , é convergente. Assim, para cada x em B existe um número f ( x ) para o qual tal sequência converge. A função f : B → R assim definida é tal que, para todo x em B,

lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) = f ( x )

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro