É convergente ou divergente? Justifique.

j) sum_(k = 1)^(+ oo) ln (1 + (1)/(k^2))

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar os testes do limite ou da comparação para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Vamos chamar a_k = ln (1 + (1)/(k^2)) e c_k = (1)/(k^2) . Se fizermos agora a_k // c_k , vamos ter que:

underset(k -> + oo)(lim) (ln (1 + (1)/(k^2)))/((1)/(k^2)) = underset(k -> + oo)(lim) k^2 ln (1 + (1)/(k^2)) = ln underset(k -> + oo)(lim) (1 + (1)/(k^2))^(k^2)

Temos que esse resultado nos é conhecido! Esse limite tende para o valor de e quando k tende a infinito, assim temos que o limite fica:

ln e = 1 > 0

Como nosso resultado é maior que zero, só podemos concluir que ambas as séries são convergentes ou ambas são divergentes. Vamos analisar nossa sequência c_k : como já vimos, a série sum_(k = 1)^(+ oo) 1 // k^2 é convergente, portanto temos que nossa série do enunciado também será convergente!

Resposta

C o n v e r g e n t e

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