É convergente ou divergente? Justifique.

  1. sum_(k = 5)^(+ oo) (k^2 + 3 k + 1)/((ln k)^(10))

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Nossa sequencia escolhida para comparação será c_k = (1)/((ln k)^(10)) que como vimos no exercício 5b) é divergente, e nossa sequência que queremos descobrir é a_k = (k^2 + 3 k + 1)/((ln k)^(10)) . Fazendo underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) , vamos ter que

underset(k -> + oo)(lim) ((k^2 + 3 k + 1)/((ln k)^(10)))/((1)/((ln k)^(10))) = underset(k -> + oo)(lim) k^2 + 3 k + 1 = underset(k -> + oo)(lim) k^2 + underset(k -> + oo)(lim) 3 k + underset(k -> + oo)(lim) 1 = + oo

Dessa vez nosso limite já deu + oo , que pelo segundo caso do critério do limite, nos diz que nossas duas funções têm a “mesma tendência”. Nesse caso, como nossa série de comparação diverge, nossa série inicial também irá de acordo com o critério.

Resposta

D i v e r g e n t e

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