É convergente ou divergente? Justifique.

j) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k * k^((1)/(k)))

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar os testes do limite ou da comparação para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Nossa equação sequencia escolhida para comparação será c_k = k e nossa sequência que queremos descobrir é a_k = (1)/(k ((k + 1)/(k))) . Fazendo underset(k -> + oo)(lim) (c_k)/(a_k) , vamos ter que

underset(k -> + oo)(lim) (k)/((1)/(k ((k + 1)/(k)))) = underset(k -> + oo)(lim) k^((1)/(k))

Essa função que chegamos não é integrável, portanto não podemos aplicar o teste da integral para verificarmos qual seu valor no infinito, mas podemos analisar de outra forma: temos que se formos abrindo essa sequência para k >= 1 , teremos os seguintes valores:

k^((1)/(k)) = 1^((1)/(1)) + 2^((1)/(2)) + 3^((1)/(3)) + ... + n^((1)/(n))

Quanto maior for nosso k mais próximo de 1 estará nosso termo, assim sempre somando valores positivos maiores ou iguais a 1 , tendo então que:

underset(k -> + oo)(lim) k^((1)/(k)) = + oo

Assim como nossa sequência k . Logo nossa sequêcia a_k é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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