É convergente ou divergente? Justifique.

d) sum_(k = 3)^(+ oo) ((ln k)^3)/(k^2) .

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Nossa sequencia escolhida para comparação será c_k = (1)/(k * (ln k)^2) que como vimos no exercício 6e) é convergente, e nossa sequência que queremos descobrir é a_k = ((ln k)^3)/(k^2) . Fazendo underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) , vamos ter que

underset(k -> + oo)(lim) (((ln k)^3)/(k^2))/((1)/(k * (ln k)^2)) = underset(k -> + oo)(lim) ((ln k)^3)/(k)

Vimos no exercício 5 a ) que podemos escrever underset(k -> + oo)(lim) (k)/((ln k)^(gamma)) = underset(u -> + oo)(lim) (e^u)/(u^(gamma)) = + oo , com gamma > 0 . Temos o caso invertido nesse exercício, logo nosso limite para esse caso será

underset(k -> + oo)(lim) ((ln k)^3)/(k) = (1)/(oo) = 0 .

E pelo terceiro caso do critério do limite, vemos que nossa série inicial é convergente, já que a que usamos como comparação também era.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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