É convergente ou divergente? Justifique.

j) sum_(k = 1)^(+ oo) k^2 * (1 - cos (1)/(k^2))

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar os testes do limite ou da comparação para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste da comparação. Vamos analisar os limites da nossa sequência antes. Temos que para k >= 1 , nossa sequência dá que

(1 - cos 1) >= k^2 * (1 - cos (1)/(k^2)) >= k^2 * (1 - 1)

(1 - cos 1) >= k^2 * (1 - cos (1)/(k^2)) >= 0

(1)/(k^2) * (1 - cos 1) >= (1 - cos (1)/(k^2)) >= 0

Comparando com essa função 1 // k^2 , temos que a mesma é uma série harmônica de ordem 2, ou seja, ela é uma série convergente e converge para o valor de 1 como visto no capítulo. Assim, temos que nossa série ira variar dentro do seguinte intervalo de valores

0 <= (1 - cos (1)/(k^2)) <= (1 - cos 1)

Provando então que nossa série é convergente, já que 1 // k^2 também é!

Resposta

C o n v e r g e n t e

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