É convergente ou divergente? Justifique.

d) sum_(k = 3)^(+ oo) (1)/(k * (ln k)^(10))

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Esse item é um pouco diferente de todos, já que o mesmo tem uma resposta mostrada no Exemplo 2 da Seção 3.1: critério da integral, mas aqui vamos mostrar que o critério do limite e da comparação não nos dá nenhum resultado. Vamos escolher nossa c_k = 1 // k^2 , que é uma série convergente como já vimos. Se aplicarmos o critério do limite, vamos ter que

underset(k -> + oo)(lim) ((1)/(k * (ln k)^(10)))/((1)/(k^2)) = underset(k -> + oo)(lim) (k)/((ln k)^(10)) = + oo

Ou seja, nosso teste do limite fracassou miseravelmente, já que escolhemos uma série convergente e aplicamos o teste, porém o mesmo nos diz que não é convergente. Já o teste da integral nos diz que essa série é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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