É convergente ou divergente? Justifique.

Letra d)

s_n = sum_(k = 1)^n (1)/(k !)

Passo 1

Vamos comparar nossa sequência a seguinte sequência convergente:

t_n = sum_(k = 1)^n (1)/(2^(k - 1))

Esta é convergente, pois:

underset(n -> oo)(lim) t_n = 2

Então teremos

sum_(k = 1)^n (1)/(2^(k - 1)) = 1 + (1)/(2) + (1)/(2^2) + ... + (1)/(2^(n - 1)) < 2

Passo 2

Para k >= 1 , teremos 2^(k - 1) <= k !

Já que k ! = 1 * 2 * 3 * ... * k !

Que além do fator 1 contem k - 1 fatores, cada um maior ou igual a 2

Passo 3

Cara, isso quer dizer que

(1)/(k !) <= (1)/(2^(k - 1))

Daí, para todo n >= 1

s_n = sum_(k = 1)^n (1)/(k !) <= sum_(k = 1)^n (1)/(2^(k - 1)) < 2

Resposta

Segue que s_n é CONVERGENTE, pois é uma sequencia crescente limitada superiormente por 2

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