4. Para cada n ≥ 1 ,   seja f n x = n   a r c t g x n .

a) Determine o domínio da função f dada por

f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x )

b) Mostre que f n , n ≥ 1 , converge uniformemente a f em - r , r , onde r > 0 é um real dado.

c) Mostre que a sequência f n não converge uniformemente a f em R .

Passo 1

Letra (a)

O domínio de f é o conjunto de todos os x para os quais a sequência f n x = n   a r c t g x n converge.

Temos:

f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) = lim n → ∞ ⁡ n   a r c t g x n = lim n → ∞ ⁡ a r c t g x n 1 n =

= lim n → ∞ ⁡ - x n 2 . 1 1 + x 2 / n   - 1 n 2 = x

Logo, D f = R .

Passo 2

Letra (b)

Seja h x = x - n a r c t g x n

Temos h ' x = x 2 x 2 + n 2 ≥ 0

Então, h é crescente em [ 0 , ∞ [ . Segue que, para todo x   ∈ 0 , r ,

0 ≤ x - n a r c   t g x n ≤ r - n   a r c t g r n

Como lim n → ∞ ⁡ r - n a r c t g r n = 0 dado ε > 0 , existe n 0 tal que

n > n 0 → r - n a r c   t g r n < ε

Segue que, para todo x E - r , r ,

n > n 0 → x - n a r c t g x n < ε

Portanto, a sequência f n x = n a r c t g x n converge uniformemente a f x = x em - r , r .

Passo 3

Letra (c)

Como, para todo n > n 0 , lim x → ∞ ⁡ x - n a r c t g x n = ∞

Resulta que, dado ε , não existe n 0   (   q u e   s ó   d e p e n d e   d e s s e   ε ) que torne verdadeira a afirmação para todo x ∈ R ,   n > n 0 → f n x - f x < ε

Portanto, a convergência não é uniforme em R .

Resposta

  1. D f = R .
  2. Demonstração
  3. Demonstração
Ver Outros Exercícios desse livro