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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 5b

(critério de Cauchy-Fermat) Suponha f : [ 1 , + ∞ [ → R contínua, descrecente e positiva. Sendo E > 1 , prove

∑ k = 1 + ∞ f k   d i v e r g e n t e   ⟺ ∑ k = 0 + ∞ E k f E k   d i v e r g e n t e .

Passo 1

Tome que, se soma discreta de f x é convergente, então a soma contínua também será, ou seja

∑ k = 1 + ∞ f k   d i v e r g e n t e ⟺ ∫ 1 + ∞ f x d x   d i v e r g e n t e

Essa suposição é dada apartir do Critério da Integral (Inicio Seção 3.1).

Assim, faça x = E y , logo temos que d x = E y d y . Substituindo temos que

∫ 1 + ∞ f x d x   d i v e r g e n t e = ∫ 0 + ∞ E y f E y d y   d i v e r g e n t e

Assim temos que, ainda pelo critério da integral

∫ 0 + ∞ E y f E y d y   d i v e r g e n t e ⟺ ∑ k = 0 + ∞ E k f E k   d i v e r g e n t e

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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