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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 17b

Considere a sequência α m ,     m ≥ 0 , com α 0 = 1 e α m > 0 para todo m , dada por

2 arctan ⁡ α m = arctan ⁡ α m - 1 .

Mostre que

π 4 = 2 m arctan ⁡ α m .

Passo 1

Nesse problema, vamos manipular a expressão dada no enunciado. Vamos começar usando m = 1 e ir expandindo os resultados para obtermos a expressão completa. Sei que não parece muito intuitivo esse exercício, mas vamos ver que ele é bem mais fácil do que parece.

Passo 2

Bom, como dito no passo 1, vamos colocar m = 1 . Ficamos com nossa equação da forma:

2 arctan ⁡ α m = arctan ⁡ α m - 1 .

2 arctan ⁡ α 1 = arctan ⁡ α 0

Como dado no enunciado, α 0 = 1 . Assim, ficamos que arctan ⁡ 1 = π / 4 . Substituindo na equação, temos então que

π 4 = 2 arctan ⁡ α 1

Agora se colocarmos m = 2 ,   3 ,   4 … , vamos ter que

2 arctan ⁡ α 2 = arctan ⁡ α 1

2 arctan ⁡ α 3 = arctan ⁡ α 2

2 arctan ⁡ α 4 = arctan ⁡ α 3

.

.

.

Assim, temos que

π 4 = 2 arctan ⁡ α 1 = 2 ⋅ 2 arctan ⁡ α 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 arctan ⁡ α 3 … = 2 m ⋅ arctan ⁡ α m

Provando então o que foi pedido pelo enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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