6. (Critério da raiz para série de termos quaisquer.) Considere a série ∑ k = 0 ∞ a k .

Suponha que

lim k → ∞ ⁡ a k k

Exista, finito ou infinito. Seja L = lim k → ∞ ⁡ a k k . Prove.

  1. Se L < 1 ,   a   s é r i e   ∑ k = 0 ∞ a k será convergente.
  2. Se L > 1   o u   L = ∞ , a série será divergente.

Passo 1

Letra (a)

Se L < 1 , existe um r tal que L < r < 1 . Como lim k → ∞ ⁡ a k k = L , existe N tal que, para k > N ,   a k k < r .

Portanto, se k > N , resulta 0 ≤ a k < r k .

Temos que ∑ k = 0 ∞ r k é convergente ( 0 < r < 1 ) .

Pelo critério de comparação, resulta que ∑ k = 0 ∞ a k é convergente. Logo, ∑ k = 0 n a k é, também, convergente.

Passo 2

Letra (b)

Se L > 1 ou L = ∞ , série será divergente.

Supondo L > 1 , existe N tal que, para todo k ≥ N ,   1 ≤ a k , k   o u   s e j a   a k ≥ 1 , para todo k ≥ N .

Como não poderemos ter lim k → ∞ ⁡ k = 0 , série ∑ k = 0 ∞ a k será divergente.

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração
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