5. . Utilizando a fórmula de Taylor com resto de Lagrange ( veja Vol.1), mostre que, para todo x, tem-se

b) s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Passo 1

Seja f x = s e n x

Temos

s e n   x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + … + f n 0 n ! x n + f n + 1 x - n + 1 ! x n + 1 , x -   e n t r e   0   e   x .

Como f n + 1 ( x ) = s e n   x   o u   f n + 1 ( x ) = c o s   x   segue f n + 1 ( x ) ≤ 1 , para todo x. Logo,

f n + 1 x - n + 1 ! x n + 1 ≤ x n + 1 n + 1 !

Então, para todo x,

s e n   x - x - x 3 3 ! + … + - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ≤ x 2 n + 2 2 n + 2 !

Portanto,

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Resposta

Demonstração.

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