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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 1

Determine se F é um campo vetorial conservativo ou não. Se for, encontre a função f tal que F = ∇ f .

F x y = 2 x y + y - 2 i ^ + x 2 - 2 x y - 3 j ^ ,     y > 0

Passo 1

Pessoal, um campo vetorial da forma F = P i ^ + Q j ^ é dito conservativo se e somente se a relação abaixo for verdadeira:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Nos foi dado o seguinte campo vetorial

F x y = 2 x y + y - 2 i ^ + x 2 - 2 x y - 3 j ^ ,     y > 0

onde P = 2 x y + y - 2 e Q = x 2 - 2 x y - 3 . Calculando as derivadas parciais de cada um, temos:

∂ P ∂ y = 2 x - 2 y - 3

∂ Q ∂ x = 2 x - 2 y - 3

Como a relação ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x foi atendida, logo, temos um campo conservativo.

Passo 2

Agora precisamos achar a função f de tal maneira que ∇ f = F . Por definição,

∇ f = f x i ^ + f y j ^

Portanto, como f x = 2 x y + y - 2 → ( 1 ) e f y = x 2 - 2 x y - 3     → ( 2 ) . Integrando dos dois lados da equação ( 1 ) , temos:

f = x 2 y + x y - 2 + g y   →     3

Agora, derivando parcialmente em relação a y , temos:

f y = x 2 - 2 x y - 3 + g ' y

Já que temos duas expressões para f y , vamos igualá-las!

x 2 - 2 x y - 3 = x 2 - 2 x y - 3 + g ' y

g ' y = 0

Assim, fazendo g y = K , temos como expressão para f :

f x , y = x 2 y + x y - 2 + K

Resposta

O campo é conservativo e a função é igual a:

f x , y = x 2 y + x y - 2 + K

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