Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F(x, y) = raiz(x) / (1 + z) * i + raiz(y) / (1 + x) * j + raiz(z) / (1 + y) * k

Passo 1

Falaaa, pessoal! Tudo show de bola?

Na nossa questão, exclusivamente no nosso item (a) queremos achar o rotacional desse campo vetorial aqui:

F x , y = x 1 + z   i + y 1 + x j + z 1 + y   k

Mas o que é esse rotacional?

Vamos supor que tenhamos um campo vetorial em R 3 , como esse:

F = P i + Q j + R k

Supondo que existem as derivadas parciais de P ,   Q   e   R , então jogamos nessa fórmula top para achar o rotacional:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Lembrando que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a x ,   y   e z , individualmente.

Passo 2

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

Primeiro, sabendo quem é quem no nosso campo:

F x , y = x 1 + z ⏟ P   i + y 1 + x ⏟ Q j + z 1 + y ⏟ R   k

Assim, teremos as derivadas parciais de P :

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x 1 + z = 0

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z x 1 + z = x 1 + z 2

As derivadas parciais de Q :

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x y 1 + x = y 1 + x 2

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z y 1 + x = 0

E as derivadas parciais de R :

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y z 1 + y = z 1 + y 2

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x z 1 + y = 0

Observe que as que resultaram em 0 , não tinham na função o termo que estava sendo derivado, show?

Calculando o rotacional do campo vetorial, jogando na fórmula do passo anterior, chegaremos a:

r o t   F = z 1 + y 2 i + x 1 + z 2 j + y 1 + x 2 k

Resposta

r o t   F = z 1 + y 2 i + x 1 + z 2 j + y 1 + x 2 k

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