Determine condições para que a equação

P x ,   y   d x + Q x ,   y   d y = 0

Admita o fator integrante da forma

u x ,   y = h ( x 2 + y 2 )

Onde h   ( t ) é função de uma variável.

Passo 1

Sabendo que:

u ( x ,   y ) = u t ,   c o m   t = x 2 + y 2

Então:

∂ u ∂ x = 2 x ⋅ u ' t   e   ∂ u ∂ y = 2 y ⋅ u ' ( t )

Substituindo na equação:

∂ u ∂ y P - ∂ u ∂ x Q = u ( t ) ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Temos:

2 y ⋅ u ' t P - 2 x ⋅ u ' t Q = u ( t ) ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

u ' t 2 y P - 2 x Q = u ( t ) ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

u ' t = u ( t ) ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y 2 y P - 2 x Q  

Passo 2

Sendo:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y 2 y P - 2 x Q = h t ,   c o m   t = x 2 + y 2

Temos que:

e ∫ h t d t

Será um fator integrante válido e solução para equação linear u ' ( t ) = u t ⋅ h ( t )

Resposta

T e o r e m a

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