Determine um função y = f ( x ) , cujo gráfico passe pelo ponto (1, 1), tal que, para todo ( x ,   y ) no gráfico de f , a área da região A 2 seja o dobro da área de região A 1 (veja figura).

Passo 1

Temos que:

A 1 = ∫ 0 x f ( x ) d x

A 2 = x f x - A 1

Pelo enunciado sabemos que:

A 2 = 2 A 1

Então:

2 A 1 = x f x - A 1

3 A 1 = x f x

Passo 2

Derivando a equação obtida em relação a x :

3 A 1 ' = f x + x f ' x

3 f x = f x + x f ' x

2 f x = x f ' ( x )

Novamente pelo enunciado, temos que:

y = f ( x )

Substituindo na equação:

2 y = x d y d x

d y y = 2 d x x

∫ d y y = 2 ∫ d x x

Integrando:

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ x + k

y = k x 2

Passo 3

Como a função deve passar pelo ponto 1 ,   1 , temos:

y x = k x 2

1 = k ⋅ 1 2

k = 1

Obtemos assim a função:

y x = x 2

Resposta

y x = x 2

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