Determine uma curva que passa pelo ponto dado e tal que, para todo , seja ortogonal a onde é o campo vetorial dado por:
Passo 1
É isso aiii!!
Bora animar galerinhaa, que vamos pra mais umaaa!!
Para que seja normal ao campo vetorial dado por é necessário que o produto escalar entree seja igual a 0.
Então, vamos começar olhando a derivada:
Usando o produto escalar e igualando a zero:
Reorganizando:
Vamos reorganizar a equação:
Ou melhor:
Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:
Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função considerar, não é?
Vamos começar por ela:
Quando nós integramos:
Agora, para ter a segunda condição:
Quando nós integramos:
Se é assim:
Portanto nós concluímos que a equação é exata e suas condições são dadas implicitamente por , em que é uma constante.
Passo 2
Agora nós precisamos saber que, quando nós podemos substituir:
Substituindo:
Então:
Agora, para parametrizá-la usaremos o método de completar o quadrado.
Se:
Então:
Em função da soma de quadrados, usaremos uma parametrização trigonométrica:
Portanto, concluímos que a curva que satisfaz às condições indicadas é:
E fiiim !!