Determine uma curva γ t ,   t   ϵ   I , que passa pelo ponto dado e tal que, para todo t   ϵ   I , γ ' t seja ortogonal a F → γ t , onde F → x , y é o campo vetorial dado por:

1 ,   2     e     F → x , y = ( 2 x - y ) i → + ( 2 y - x ) j →

Passo 1

É isso aiii!!

Bora animar galerinhaa, que vamos pra mais umaaa!!

Para que γ = γ t seja normal ao campo vetorial dado por F → x , y = ( 2 x - y ) i → + ( 2 y - x ) j → é necessário que o produto escalar entre   γ ' t   e F → x , y seja igual a 0.

Então, vamos começar olhando a derivada:

γ ' t = d x d x , d y d x = 1 , d y d x

Usando o produto escalar e igualando a zero:

γ ' t . F → x , y = 1 , d y d x . 2 x - y ,   2 y - x

1 . 2 x - y + ( 2 y - x ) d y d x = 0

2 x - y + ( 2 y - x ) d y d x = 0

Reorganizando:

d y d x = 2 x - y 2 y - x

Vamos reorganizar a equação:

2 y - x d y = 2 x - y d x

Ou melhor:

2 y - x d y - 2 x - y d x = 0

Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:

d φ d y = 2 y - x

d φ d x = 2 x - y

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função φ = φ ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d φ = 2 y - x . d y

Quando nós integramos:

φ = y 2 - x y

Agora, para ter a segunda condição:

d φ = ( 2 x - y ) d x

Quando nós integramos:

φ = x 2 - x y

Se é assim:

φ x ,   y = x 2 - x y + y 2

Portanto nós concluímos que a equação 2 y - x d y - 2 x - y d x = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x 2 - x y + y 2 = k , em que k é uma constante.

Passo 2

Agora nós precisamos saber que, quando ( 1 ,   2 ) nós podemos substituir:

x = 1     e     y = 2

Substituindo:

φ ( 1 ,   2 ) = 1 2 - 1.2 + 2 2 = k

Então:

k = 3

Agora, para parametrizá-la usaremos o método de completar o quadrado.

Se:

x 2 - x y + y 2 = 3

Então:

x 2 - x y + y 2 4 + y 2 - y 2 4 = 3

x - y 2 2 + 3 y 2 2 = 3

Em função da soma de quadrados, usaremos uma parametrização trigonométrica:

3 y 2 = 3 . cos ⁡ t → y = 2 cos ⁡ t

x - y 2 = 3 . sin ⁡ t →   x = 3 . sin ⁡ t + cos ⁡ t

Portanto, concluímos que a curva que satisfaz às condições indicadas é:

γ t = 3 . sin ⁡ t + cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t = 3 . sin ⁡ t + cos ⁡ t i → + 2 cos ⁡ t j →

E fiiim !!

Resposta

γ t = 3 . sin ⁡ t + cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t = 3 . sin ⁡ t + cos ⁡ t i → + 2 cos ⁡ t j →

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