Verifique que é exata e resolva.

(3 x^2 + y) d x + ( x + 4 ) d y = 0

Passo 1

Vamos que vamos para mais uma letrinhaa!!

Para que a equação acima seja exata nós vamos chamar:

(d phi)/(d x) = (3 x^2 + y)

(d phi)/(d y) = ( x + 4 )

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função phi = phi ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d phi = (3 x^2 + y) . d x

Quando nós integramos:

phi = x^3 + x y

Agora, para ter a segunda condição:

d phi = ( x + 4 ) d y

Quando nós integramos:

phi = x y + 4 y

Se é assim:

phi ( x , y ) = x^3 + x y + 4 y

Portanto nós concluímos que a equação (3 x^2 + y) d x + ( x + 4 ) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x^3 + x y + 4 y = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = x^3 + x y + 4 y

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