Determine uma curva γ t ,   t   ϵ   I , que passa pelo ponto dado e tal que, para todo t   ϵ   I , γ ' t seja ortogonal a F → γ t , onde F → x , y é o campo vetorial dado por:

1 ,   1     e     F → x , y = y i → + x j →

Passo 1

É isso aiii!!

Bora animar galerinhaa, que vamos pra mais umaaa!!

Para que γ = γ t seja normal ao campo vetorial dado por F → x , y = y i → + x j → é necessário que o produto escalar entre   γ ' t   e F → x , y seja igual a 0.

Então, vamos começar olhando a derivada:

γ ' t = d x d x , d y d x = 1 , d y d x

Usando o produto escalar e igualando a zero:

γ ' t . F → x , y = 1 , d y d x . ( y ,   x )

1 . y + x d y d x = 0

y + x d y d x = 0

Reorganizando:

d y d x = - y x

Separando as variáveis:

d y y = - d x x

E integrando:

ln ⁡ y = - ln ⁡ x + C

Como a nossa curva possui o ponto 1 ,   1 :

ln ⁡ 1 = - ln ⁡ 1 + C

C = 0

Passo 2

Agora que nós temos o valor da constante:

ln ⁡ y = - ln ⁡ x

ln ⁡ y + ln ⁡ x = 0

Para expressá-la na forma parametrizada basta considerarmos x = t e com isso determinar y:

ln ⁡ y + ln ⁡ t = 0

Usando as propriedades do ln:

ln ⁡ y t = 0

Aplicando o exponencial:

y t = e 0

y t = 1

y = 1 t

Portanto, concluímos que a curva que satisfaz às condições indicadas é:

γ t = t , 1 t = t i → + 1 t j →

E fiiim !!

Resposta

γ t = t , 1 t = t i → + 1 t j →

Ver Outros Exercícios desse livro