Verifique que é exata e resolva.

(y - x^3) d x + ( y^3 + x ) d y = 0

Passo 1

Vamos que vamos para mais uma letrinhaa!!

Para que a equação acima seja exata nós vamos chamar:

(d phi)/(d x) = y - x^3

(d phi)/(d y) = y^3 + x

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função phi = phi ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d phi = (y - x^3) . d x

Quando nós integramos:

phi = x y - (x^4)/(4)

Agora, para ter a segunda condição:

d phi = (y^3 + x) . d y

Quando nós integramos:

phi = (y^4)/(4) + x y

Se é assim:

phi ( x , y ) = (y^4)/(4) + x y - (x^4)/(4)

Portanto nós concluímos que a equação (y - x^3) d x + ( y^3 + x ) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (y^4)/(4) + x y - (x^4)/(4) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = (y^4)/(4) + x y - (x^4)/(4)

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