Determine o domínio da função f dada por:

f x = ∑ n = 1 + ∞ sin ⁡ 1 n     x n

O domínio de f é o conjunto dos x para os quais a série é convergente.

Passo 1

Preparados para começar?

Então vamoo que vamooo ...

Para a série ∑ n = 1 + ∞ sin ⁡ 1 n     x n vamos calcular o limite aplicando o critério da razão. Neste item, em vez de calcularmos a razão entre os membros da série é mais simples aplicarmos x = 1 e x = - 1 e ver como a nossa série se comportará !!

Quando x = 1 :

f 1 = ∑ n = 1 + ∞ sin ⁡ 1 n   = ∫ 1 ∞ sin ⁡ 1 n   d n

Resolvendo a nossa integral:

∫ 1 ∞ sin ⁡ 1 n   d n = - - sin ⁡ 1 n - 1 n - - C 1 n ∞ 1 = - n sin ⁡ 1 n - C 1 n ∞ 1

Aplicando o intervalo:

= ∞ + sin ⁡ 1 + C 1 = ∞

Sendo assim a nossa série diverge para x ≥ 1 ‼

Passo 2

Quando x = 1 :

f - 1 = ∑ n = 1 + ∞ sin ⁡ - 1 n   = ∫ 1 ∞ sin ⁡ - 1 n   d n

Resolvendo a nossa integral:

∫ 1 ∞ sin ⁡ - 1 n   d n = - sin ⁡ 1 n 1 n - - C 1 n ∞ 1 = - n sin ⁡ 1 n + C 1 n ∞ 1

Aplicando o intervalo:

= - ∞ - C 1 - sin ⁡ 1 = - ∞

Sendo assim a nossa série diverge para x ≤ - 1 ‼

Passo 3

Agora nós podemos finalizar usando o critério da razão:

L = lim n → 1 ⁡ a n + 1 a n

Sendo assim:

a n + 1 a n = sin ⁡ 1 n + 1 sin ⁡ 1 n

Calculando o limite:

L = lim n → 1 ⁡ sin ⁡ 1 n + 1 sin ⁡ 1 n = sin ⁡ 1 2 sin ⁡ 1 = 0,569

Segundo o critério da razão a série converge para:

L < 1

Então para - 1 < x < 1 a série será convergente !!

Resposta

- 1 < x < 1

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