Suponha que

x = f t

y = g ( t )

t     ϵ     I     ( I   i n t e r v a l o )

Seja solução da equação:

P x , y d x + Q x , y d y = 0

E f ' t > 0 em I . Seja t = h x ,     x   ϵ   J , a inversa de x = f t ,     t     ϵ     I . Prove que:

y = g h x ,     x   ϵ   J

É, também, solução da equação dada. Interprete.

Passo 1

Então galerinha, aqui nós vamos ver que:

x = f t

y = g ( t )

Se é assim nós podemos deduzir que:

d x d y = f ' t →     d x = f ' t . d t

d y d y = g ' t →     d y = g ' t . d t

Como são soluções da equação:

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Nós podemos substituir:

P f t , g ( t ) f ' t . d t + Q f t , g ( t ) g ' t . d t = 0

Vamos guardar esta informação, ok?

Passo 2

Se y = g h x nós podemos usar a Regra da Cadeia para derivar y em função de t:

d y d t = g ' h x . h ' x . x '

No Passo 1 nós vimos que:

d x d t = f ' t

Então:

d y d t = g ' h x . h ' ( x ) . f ' t

Substituindo y na equação do Passo 1:

P f t , g h x f ' t . d t + Q f t , g h x g ' h x . h ' ( x ) . f ' t . d t = 0

Se x = f t :

P f t , g h f t f ' t . d t + Q f t , g h f t g ' h f t . h ' ( f t ) . f ' t . d t = 0

Lembrando que t = h x   é a inversa de x = f t :  

h f t = f h t = t

E sua derivada, usando a Regra da Cadeia:

h f t d t = h ' f t . f ' t = d t d t = 1

Então:

P f t , g t f ' t . d t + Q f t , g t g ' t . 1 . d t = 0

P f t , g t f ' t . d t + Q f t , g t g ' t . d t = 0

Que é idêntica a do Passo 1, certo?

Portanto nós podemos concluir que y = g h x também é solução da equação P x , y d x + Q x , y d y = 0 !!

Tranquilinha ?!

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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