3. Determine uma equação y ' ' + p x y ' + q x y = 0 que admita como soluções as funções y = x , x > 0 e y = x e x , x > 0 . Determine a solução geral da equação encontrada.

Passo 1

A solução geral será...

y = A x + B x e x

Mas temos que garantir que x e x e x sejam linearmente independente!

Passo 2

Calculemos o wronskiano então...

W x = f x g x f ' x g ' x =

W x = f x g ' x - g x f ' x

Podemos derivar as nossas funções...

f x = x             →                     f ' x = 1

g x = x e x             →                     g ' x = x e x + e x

Agora é só substituir mesmo!

W x = x ⋅ x e x + e x - x e x 1   →

W x = x 2 e x + x e x - x e x   →

W x = x 2 e x

Ora, veja que o wronskiano é diferente de 0 para todo e qualquer x > 0 . Então de fato f e g aqui são LI. A solução da EDO então será:

y = A x + B x e x

Resposta

y = A x + B x e x

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