10. Mostre que a solução geral de , onde é uma constante real é:
Passo 1
ORA! Temos a EDO e temos a solução dela . O que a gente pode fazer para verificar? ISSO! Podemos derivar a resposta até a segunda ordem e depois substituir na EDO e ver se da certo ou não.
Vamos começar derivando então a nossa resposta :
Derivando esse outro termo aí...
E simplificando...
Passo 2
Chegou a hora de derivar novamente! Cada termo daquela soma anterior vai se desmembrar por causa da regra do produto e a gente vai ter esse monstrinho aqui:
Derivando esses termos em negrito:
Passo 3
Bem... Com a segunda derivada encontrada, podemos substituir na EDO:
Simplificando...
AHA! Como não chegamos a nenhum absurdo grosseiro como , é porque de fato é solução da EDO, saca?
Resposta
Questão de demonstração.