10. Mostre que a solução geral de x 4 y ' ' + k 2 y = 0 , onde k > 0 é uma constante real é:

y = x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x

Passo 1

ORA! Temos a EDO e temos a solução dela y . O que a gente pode fazer para verificar? ISSO! Podemos derivar a resposta até a segunda ordem e depois substituir na EDO e ver se da certo ou não.

Vamos começar derivando então a nossa resposta y :

y = x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x     →

y ' = 1 k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x + x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x ' →

Derivando esse outro termo aí...

y ' = k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x + x - k x 2 k 1 cos ⁡ k x + k x 2 k 2 sin ⁡ k x →

E simplificando...

y ' = k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x + x k x 2 - k 1 cos ⁡ k x + k 2 sin ⁡ k x     →

y ' = k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x + k x - k 1 cos ⁡ k x + k 2 sin ⁡ k x    

Passo 2

Chegou a hora de derivar novamente! Cada termo daquela soma anterior vai se desmembrar por causa da regra do produto e a gente vai ter esse monstrinho aqui:

y ' ' = - k x 2 k 1 cos ⁡ k x + k x 2 k 2 sin ⁡ k x     + k x ' - k 1 cos ⁡ k x + k 2 sin ⁡ k x + k x - k 1 cos ⁡ k x + k 2 sin ⁡ k x '   →

Derivando esses termos em negrito:

y ' ' = k x 2 - k 1 cos ⁡ k x + k 2 sin ⁡ k x - k x 2 - k 1 cos ⁡ k x + k 2 sin ⁡ k x + k x - k x 2 k 1 cos ⁡ k x - k x 2 k 2 sin ⁡ k x   →

y ' ' = k 2 x 3 - k 1 cos ⁡ k x - k 2 sin ⁡ k x  

Passo 3

Bem... Com a segunda derivada encontrada, podemos substituir na EDO:

x 4 y ' ' - k 2 y = 0

x 4 k 2 x 3 - k 1 cos ⁡ k x - k 2 sin ⁡ k x + k 2 x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x = 0

Simplificando...

- x k 2 k 1 cos ⁡ k x + k 2 sin ⁡ k x + k 2 x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x = 0

0 = 0

AHA! Como não chegamos a nenhum absurdo grosseiro como 1 = 0 , é porque de fato y é solução da EDO, saca?

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro