15. Determine uma equação do tipo y ' ' + p x y ' + q x y = 0 que admita y = x 2 ,   x > 0 e y = 1 x ,     x > 0 como soluções.

Passo 1

Bem, se estamos admitindo que

y = x 2           e               y = 1 x

Sejam soluções, então é possível dizer que a cominação delas:

y = x 2 + 1 x

Também vai ser uma solução!

Derivando então...

y ' = 2 x - 1 x 2

y ' ' = 2 + 2 x 3

E agora substituindo na EDO que queremos encontrar...

y ' ' + p x y ' + q x y = 0   →

2 + 2 x 3 + p x 2 x - 1 x 2 + q x x 2 + 1 x = 0  

Temos que encontrar um p x e um q x que satisfaçam isso e estará pronto o nosso problema!

Passo 2

Para simplificar a nossa vida, vamos definir p x = 0 . Aí a equação se reduz a...

2 + 2 x 3 + q x x 2 + 1 x = 0     →

Se definirmos q como - 2 / x 2 , então...

2 + 2 x 3 - 2 x 2 x 2 + 1 x = 0     →

2 + 2 x 3 - 2 - 2 x 3 = 0   →

0 = 0

O que de fato é verdade! Como q x = - 2 / x 2 é contínua em para x > 0 , então uma equação que admita y = x 2 ,   x > 0 e y = 1 x é...

y ' ' - 2 x 2 y = 0 ,         x > 0

Resposta

Dentre várias possibilidades, uma das soluções pode ser a equação a seguir:

y ' ' - 2 x 2 y = 0 ,         x > 0

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